решения других задач по данной теме

Пусть A(t) - квадратная функциональная матрица с модулем , где a_ij(t) - ее элементы, дифференцируемые на некотором интервале. Оценить модуль дифференциала ее собственных чисел как функций t.

Решение.

Собственные вектор-функции X и соответствующие им собственные числа λ, как скалярные функции переменной t, удовлетворяют спектральному уравнению:

A(t)X(t) = λ(t)X(t).     (1)

Считая для определенности, что , и умножая равенство (1) скалярно на X(t), получаем

(A(t)X(t), X(t)) = λ(t).     (2)

Дифференцируя (2), находим

dλ = (d(AX), X) + (AX, dX) = ((dA)X, X) + (AdX, X) + (AX, dX),

откуда

|dλ| ≤ |(dA)X||X| + |A dX||X| + |AX||dX| ≤ |dA||X|² + |A||dX||X| + |A||X||dX| = |dA| + 2|A||dX|.

решения других задач по данной теме