Примеры теорем неевклидовой геометрии Римана. Площадь треугольника и многоугольника. Неевклидова геометрия Римана имеет много общего с обычной геометрией Евклида. Так, например, здесь также справедливы теоремы о сравнительной длине сторон треугольника (каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности), о свойствах равнобедренного треугольника, о замечательных точках треугольника. Справедливы также и признаки равенства треугольников; только наряду с "третьим признаком равенства треугольников" (два треугольника равны, если стороны одного соответственно равны сторонам другого) в неевклидовой геометрии Римана имеет место еще так называемый "четвертый признак равенства треугольников": два треугольника равны, если углы одного из них соответственно равны углам второго. (С этим связано отсутствие в неевклидовой геометрии Римана преобразований подобия^*.) Первый и второй признаки равенства треугольников доказываются так же, как и в случае евклидовой геометрии: с использованием "неевклидовых движений", роль которых играют повороты неевклидовой плоскости Римана вокруг точки (см. выше Рис. 4) и симметрии относительно прямой (см. Рис. 11). Третий признак равенства треугольников также может быть доказан с помощью обычного приема - с использованием теорем о равнобедренном треугольнике, вывод которых не составляет труда (отметим, что симметрия относительно биссектрисы AD равнобедренного треугольника ABC, где AB = AC, переводит треугольник ABD в треугольник ACD, Рис. 12). Наконец, четвертый признак равенства треугольников получается из третьего с помощью принципа двойственности.

     Теоремы о точке пересечения биссектрис треугольника ABC и о точке пересечения перпендикуляров, восстановленных к сторонам треугольника в их серединах, доказываются в точности так же, как в геометрии Евклида; первая из этих точек является центром вписанной в треугольник ABC окружности (см. Рис. 13, а), а вторая - центром описанной окружности (см. Рис. 13, б).

^*   Отсутствие преобразований подобия в неевклидовой геометрии Римана можно также усмотреть из того, что на неевклидовой плоскости Римана каждая прямая имеет конечную длину πr, а вся плоскость - конечную площадь.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-