решения других задач по данной теме

Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников при n = 10.

Решение.

     Так как здесь рассматривается тот же промежуток [0, 1], что и в примере, и взято то же значение n, то точками x_k+1/2 по прежнему являются точки

     Эти точки мы должны подставить в формулу

и выразить результаты с помощью десятичных дробей. Чтобы установить, с каким количеством знаков надо писать эти дроби, оценим, какую ошибку мы делаем в нашем примере, применяя формулу (36) при n = 10. У нас

     Ясно, что абсолютная величина этой дроби не больше^*, чем 2. Значит, величина (37) в нашем примере равна . Вычисляя каждое значение f(x_k+1/2) по правилу дополнения с четырьмя знаками после запятой, мы сделаем в этом значении ошибку, меньшую чем 0,00005. Значит, сложив десять таких значений, мы ошибаемся меньше чем на 0,0005.

     Эту сумму придется умножить на , а потому и ошибка ее уменьшится в десять раз.

     Таким образом, суммарная ошибка, происходящая и от погрешности формулы и от округления, будет все же меньше, чем 0,001.

     После этих замечаний можно перейти к вычислениям. Так как

f(x_1/2) = 0,9975,     f(x_11/2) = 0,7678,
f(x_3/2) = 0,9780,     f(x_13/2) = 0,7030,
f(x_5/2) = 0,9412,     f(x_15/2) = 0,6400,
f(x_7/2) = 0,8909,     f(x_17/2) = 0,5806,
f(x_9/2) = 0,8316,     f(x_19/2) = 0,5256,

то

и, стало быть,

Замечая, что значение этого интеграла есть , получаем

π = 3,1424 (±0,004).

Таким образом, вполне строго доказаны неравенства

3,138 < π < 3,147.

Как известно, на самом деле π = 3,14159.

     Рассмотренный пример имеет важное принципиальное значение, так как здесь мы видим практически применимый способ вычисления числа π (а ведь это одна из важнейших постоянных математики) с любой степенью точности (в пункте Разложение арктангенса и вычисление π изложены другие, более быстрые способы вычисления π).

решения других задач по данной теме

^*   Действительно, .