решения других задач по данной теме

Поскольку , доказать, что . Вывести отсюда формулу , где 0 < θ_n < 1, и вычислить число e с точностью до 10 ^-5.

Решение.

Переходя к пределу в неравенстве

при n → ∞, получим неравенство

справедливое при любом k. Так как в множестве (y_k) нет наибольшего элемента, то при k = n

т. е. знак равенства невозможен. Кроме того,

Таким образом, x_n < y_n < e и . Отсюда следует, что .

Переходя к пределу в неравенстве

при фиксированном n и m → ∞, получаем

Обозначим . Отсюда получаем требуемое.

Неравенство справедливо при n ≥ 8. Отсюда

решения других задач по данной теме