решения других задач по данной теме

Дана равносторонняя гипербола x² - y² = 8. Найти уравнение эллипса, фокусы которого находятся в фокусах гиперболы, если известно, что эллипс проходит через точку A(4, 6).

Решение.

Уравнение гиперболы преобразуем к простейшему виду и получим . Из соотношения a² + b² = c² получаем, что c = 4. Значит, координаты фокусов гиперболы F₂(-4, 0) и F₁(4, 0). В этих точках находятся фокусы эллипса. Обозначим большую и малую полуоси эллипса через a₁ и b₁. Расстояние между фокусами эллипса такое же, как и расстояние между фокусами гиперболы. Поэтому половину этого расстояния по-прежнему обозначим через c. Но у эллипса

т. е.

и .     (A)

Для определения a₁ и b₁ нужно найти еще одно соотношение, связывающее их. Искомое уравнение эллипса запишется так:

     (В)

Поскольку точка A(4, 6) лежит на эллипсе, ее координаты должны удовлетворять уравнению эллипса. Подставляя в последнее уравнение x = 4, y = 6, получаем, что . Присоединяя уравнение (А) к этому уравнению, получаем для определения и систему уравнений

откуда . Подставляя эти значения в (В), находим искомое уравнение .

решения других задач по данной теме