Указанная функция имеет разрывы 1-го рада во всех точках x_n = 1/n, n = 2, 3, ... Фиксируем любое ε > 0. Покроем точку x = 0 (в любой окрестности этой точки находится бесконечное число точек разрыва функции) интервалом (-ε/4, ε/4). Вне этого интервала находится лишь конечное число p^* точек разрыва функции, каждую из которых покроем интервалом длины меньше . Сумма длин интервалов, покрывающих все точки разрыва рассматриваемой функции, меньше . Следовательно, функция f(x) интегрируема на сегменте [0, 1].

     Интегрируемость монотонных ограниченных функций

     Теорема. Монотонная на сегменте [a, b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте^**.

     Доказательство. Ради определенности докажем теорему для неубывающей на сегменте [a, b] функции f(x). Зададимся произвольным положительным числом ε и разобъем сегмент [a, b] на равные части, длины которых меньше (случай f(a) = f(b) можно исключить, так как тогда f(x) ≡ const). Оценим для этого разбиения разность . Имеем

Но для неубывающей функции , поэтому S - s < ε. Теорема доказана.

-1-2-3-4-5-6-7-

^*   Это число p зависит, конечно, от ε.

^**   Отметим, что если функция монотонна на сегменте [a, b], то ее значения заключены между f(a) и f(b). Поэтому определенная на сегменте [a, b] монотонная функция ограничена на этом сегменте.