Тензором ранга r, p раз контравариантным и q раз ковариантным (p + q = r), называется совокупность упорядоченных систем n' чисел, сопоставленных каждому базису некоторого линейного пространства V_n таким образом, что переход от системы, сопоставленной одному базису, происходит по закону, действующему для произведений координат (компонент) p контравариантных и q ковариантных векторов, т. е.

     Тензор, p раз контравариантный и q раз ковариантный, сокращенно называют тензором типа . Верхние индексы в обозначениях называют контравариантными, нижние - ковариантными. Ранг тензора часто называют его валентностью.

     1. Контравариантные и ковариантные векторы есть тензоры типа и Их часто называют соответственно векторами и ковекторами.

     2. Коэффициенты квадратичной формы образуют симметрический тензор типа т. е. симметрический ковариантный тензор ранга два.

     3. Элементы A линейного оператора образуют тензор типа т. е. смешанный тензор ранга два.

     4. Если всем базисам пространства V_n сопоставлено одно и то же число, то оно определяет тензор нулевого ранга (типа ). Такой тензор имеет только одну компоненту. Его называют главным инвариантом.

     Тензорам ранга два любого типа соответствует квадратная матрица порядка n, равного размерности пространства.

-1-2-3-