Прикладная математика
                               Cправочник математических формул
                                          Примеры и задачи с решениями

Алфавитный указатель  а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я  

  • Математические формулы

  • Примеры решения задач

  • Некоторые постоянные
  • Элементарная геометрия
  • Геометрические преобразования
  • Начала анализа и алгебры
  • Уравнения и неравенства
  • Аналитическая геометрия
  • Высшая алгебра
  • Дифференциальное исчисление
  • Дифференциальная геометрия
  • Интегральное исчисление
  • Комплексный анализ
  • Элементы теории поля
  • Тензорное исчисление
  • Дифференциальные уравнения
  • Математическая логика
  • Теория вероятностей и
     математическая статистика





     Примеры решения задач / Введение в анализ / Непрерывность функций / 1 2

решения других задач по данной теме


Пусть φ и ψ - непрерывные периодические функции, определенные при x ϵ R и . Доказать, что φ(x) ≡ ψ(x), x ϵ R.


Решение.

Пусть T1 - период функции φ, а T2 - период функции ψ. Предположим, что , т. е. существует такая точка x = t, что

|φ(t) - ψ(t)| = M > 0.     (1)

Возьмем ε > 0 произвольное, но меньше M/2. В силу непрерывности функции φ в точке x = t, для указанного ε > 0 существует δ > 0 такое, что

|φ(t) - φ(t + h)| < ε,     (2)

как только |h| < δ. Согласно условию, существует такое натуральное число k, что |φ(t + kT2) - ψ(t + kT2)| < ε, а тогда имеем

|φ(t + mkT2) - ψ(t + mkT2)| < ε.     (3)

Из неравенств (2), (3) и периодичности функций φ и ψ следует неравенство

|φ(t) - ψ(t)| = |φ(t) - φ(t + mkT2) + φ(t + mkT2) - ψ(t + mkT2)| ≤ |φ(t) - φ(t + mkT2)| + |φ(t + mkT2) - ψ(t + mkT2)| =

= |φ(t) - φ(t + mkT2 - nT1)| + |φ(t + mkT2) - ψ(t + mkT2)| < ε + ε = 2ε,     (4)

если только

|mkT2 - nT1| < δ.     (5)

Но мы выбрали такое число ε, что 2ε < M. Таким образом, неравенство (4) противоречит равенству (1). Источник противоречия - в предложении существования точки x = t, в которой

|φ(t) - ψ(t)| = M > 0.

Следовательно, такой точки не существует, т. е.

φ(x) ≡ ψ(x), -∞ < x < +∞.


-1-2-


решения других задач по данной теме



© 2006-2021 ПМ298
info@pm298.ru
     Электронный справочник по математике: математические формулы по алгебре и геометрии, высшая математика, математика, математические формулы. Задачи с решениями, примеры и задачи по математике, бесплатные решения задач, многочлены , многочлен , прогрессии , строфоида

     Примеры решения задач: пусть фи и пси непрерывные периодические функции, определенные при...