решения других задач по данной теме

Пусть R^m - множество всевозможных упорядоченных систем m действительных чисел (x₁, x₂, ..., x_m). Пусть в множестве R^m определены: внутренняя бинарная операция R^m × R^m → R^m, которая любым двум элементам x = (x₁, ..., x_m) и y = (y₁, ..., y_m) множества R^m ставит в соответствие элемент x + y = (x₁ + y₁, ..., x_m + y_m), называемый суммой x и y; внешняя бинарная операция R × R^m → R^m, которая любому и любому ставит в соответствие элемент λx = (λx₁, ..., λx_m), называемый произведением λ на x. Показать, что R^m - векторное пространство над полем R.

Решение.

Сначала покажем, что множество R^m является аддитивной абелевой группой. Действительно, для произвольных x = (x₁, ..., x_m), y = (y₁, ..., y_m) и z = (z₁, ..., z_m) в силу ассоциативности действительных чисел имеем

x + (y + z) = (x₁ + (y₁ + z₁), ..., x_m + (y_m + z_m)) = ((x₁ + y₁) + z₁, ..., (x_m + y_m) + z_m) = (x + y) + z.

Обозначим θ = 0 = (0, ..., 0), тогда выполняется равенство

x + 0 = (x₁ + 0, ..., x_m + 0)= (x₁, ..., x_m) = x.

Для любого положим -x = (-x₁, ..., -x_m), тогда

x + (-x) = (x₁ - x₁, ..., x_m - x_m) = (0, ..., 0) = 0.

Наконец, в силу коммутативности сложения действительных чисел

x + y = (x₁ + y₁, ..., x_m + y_m) = (y₁ + x₁, ..., y_m + x_m) = (y₁, ..., y_m) + (x₁, ..., x_m) = y + x.

Следовательно, все четыре аксиомы абелевой группы выполнены.

Далее, из определений внешней и внутренней бинарных операций и свойств действительных чисел непосредственно следуют равенства:

λ(x + y) = λ(x₁ + y₁, ..., x_m + y_m) = (λ(x₁ + y₁), ..., λ(x_m + y_m)) = (λx₁ + λy₁, ..., λx_m + λy_m) =

= (λx₁, ..., λx_m) + (λy₁, ..., λy_m) = λ(x₁, ..., x_m) + λ(y₁, ..., y_m) = λx + λy;

(λ + μ)x = (λ + μ)(x₁, ..., x_m) = ((λ + μ)x₁, ..., (λ + μ)x_m) = (λx₁ + μx₁, ..., λx_m + μx_m) =

= (λx₁, ..., λx_m) + (μx₁, ..., μx_m) = λ(x₁, ..., x_m) + μ(x₁, ..., x_m) = λx + μx;

(λμ)x = ((λμ)x₁, ..., (λμ)x_m) = (λ(μx₁), ..., λ(μx_m)) = λ(μx₁, ..., μx_m) = λ(μx);

1 · x = (1 · x₁, ..., 1 · x_m) = (x₁, ..., x_m) = x

для произвольных и любых . Таким образом, аксиомы, определяющие векторное пространство, выполнены, а поэтому R^m является векторным пространством над полем R.

решения других задач по данной теме