решения других задач по данной теме

Исследовать на сходимость гармонический ряд (1)

Решение.

Общий член этого ряда стремится к нулю при неограниченном возрастании n. Тем не менее покажем, что ряд (1) расходится. Для этого возьмем сумму 2^m первых членов ряда (1) и сгруппируем эти члены следующим образом:

Легко видеть, что

Следовательно, сумма членов, стоящих в каждой скобке, больше . Так как общее число скобок, не считая двух первых членов, очевидно, равно m → 1, то .

Если число членов n = 2^m в сумме возрастает неограниченно, то и показатель m также возрастает неограниченно. Поэтому стремится к бесконечности и, следовательно, гармонический ряд (1) расходится.

решения других задач по данной теме