Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности {x_n} находятся на сегменте [a, b], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

     В самом деле, так как a ≤ x_n ≤ b, то a ≤ c ≤ b.

     Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.

     Теорема. Пусть {x_n} и {z_n} - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y_n} удовлетворяют неравенствам x_n ≤ y_n ≤ z_n. Тогда последовательность {y_n} сходится и имеет предел a.

     Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность {y_n - a} является бесконечно малой. Обозначим через N^* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства x_n - a ≤ y_n - a ≤ z_n - a. Отсюда следует, что при n ≥ N^* элементы последовательности {y_n - a} удовлетворяют неравенству

|y_n - a| ≤ max {|x_n - a|, |z_n - a|}.

     Так как и , то для любого ε > 0 можно указать номера N₁ и N₂ такие, что при n ≥ N₁ |x_n - a| < ε, а при n ≥ N₂ |z_n - a| < ε. Пусть N = max{N^*, N₁, N₂}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |y_n - a| < ε. Итак, последовательность {y_n - a} - бесконечно малая. Теорема доказана.

-1-2-